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2.3立方根 学案

2.3立方根 学案

2.3 立方根

学习目标:

(一)学习知识点

1.了解立方根的概念,会用根号表示一个数的立方根.

2.能用立方运算求某些数的立方根,了解开立方与立方互为逆运算.

3.了解立方根的性质.

4.区分立方根与平方根的不同.

(二)能力训练要求

1.在学了平方根的基础上,要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识,领会类比思想.

2.发展学生的求同求异思维,使他们能在复杂环境中明辨是非.

(三)情感与价值观要求

当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代,每一个人都不可能把一生中要接触的知识全部学会,因此让他们会学知识比学会知识更重要,这就要从小培养良好的学习习惯,能自己解决的问题就自己解决,其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法,本节课重点训练学生的类比思想的养成.

学习重点:

立方根的概念.

学习难点:

1.正确理解立方根的概念.

2.会求一个数的立方根.

3.区分立方根与平方根的不同之处.

学习方法:

类比学习法.

学习过程:

Ⅰ.新课导入

上节课我们学习了平方根的定义,若x2=a,则x叫a的平方根,即x=±

若正方体的棱长为a,体积为8,根据正方体体积的公式得a3=8,那a叫8的什么呢?本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论,若x3=a,则x叫a的什么呢?

Ⅱ.新课讲解

1.请大家先回忆平方根的定义.下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的记法呢?

.若x的平方等于a,则x叫a的平方根,记作x=±

,读作x等于正、负二次根号a,简称为x等于正,负根号a.若x的立方等于a,则x叫a的立方根,记作x=±

,读作x等于正、负三次根号a,简称x等于正、负根号a.

[师]请大家对这位同学的回答展开讨论,小组总结后选代表发言.

[生甲]我认为这位同学回答得不对.如果x2=a,则x=±

,x3=a时,x=±

也成立的话,那如何区分平方根与立方根呢?

[生乙]因为乘方与开方是互为逆运算,求立方根可通过逆运算立方来求,如x3=8,因为23=8,所以x=2,只有一个根而不是±2,所以立方根的个数不正确.

[师]大家的分析非常有道理,请认真看书第13、14页可知,若一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根(cube root;也叫三次方根)如2是8的立方根,记为x=

,读作x等于三次根号a.

开立方的定义

[师]大家先回忆开平方的定义,再类推开立方的定义.

[生]求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,则求一个数a的立方根的运算,叫做开立方,其中a叫做被开方数.

(2)立方根的性质

[师]2的立方等于多少?是否有其他的数,它的立方也是8?

[生]2的立方等于8,(-2)3=-8,所以没有其他的数的立方等于8.

[师]-3的立方等于多少?是否有其他的数,它的立方也是-27?

[生]-3的立方等于-27,33=27,所以没有其他的数的立方等于-27.

[师]0的立方等于多少?0有几个立方根?

[生]0的立方等于0,0有1个立方根是0.

[师]从刚才的讨论中,大家总结一下正数有几个立方根?0有几个立方根?负数有几个立方根?

[生]正数有一个立方根,0有一个立方根是0,负数有一个立方根.

[师]对.正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根,0的立方根有一个,是0.

(3)平方根与立方根的区别与联系.

[师]我们已经学习了平方根与立方根的定义,并会求某些数的平方根和立方根,下面请大家说说它们的联系与区别.

[生]从定义来看,若一个数x的平方等于a,即x2=a,则x叫a的平方根;若一个数x的立方等于a,即x3=a,则x叫a的立方根,都是一个数x的乘方等于a,但一个是平方,另一个是立方.

[生]一个正数的平方根有两个,一个负数没有平方根,零的平方根有一个是零;一个正数的立方根有一个,并且是正数,一个负数有一个负的立方根,零的立方根有一个是零.

[生]它们的表示方法和读法不同,一个正数a的平方根表示为±

,立方根表示为

下面我再系统地总结一下:

平方根与立方根的联系与区别.

联系:

(1)0的平方根、立方根都有一个是0.

(2)平方根、立方根都是开方的结果.

区别:

(1)定义不同:“如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根”;“如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根.”

(2)个数不同:一个正数有两个平方根,一个正数有一个立方根;一个负数没有平方根,一个负数有一个立方根.

(3)表示法不同

正数a的平方根表示为±

,a的立方根表示为

(4)被开方数的取值范围不同

中的被开方数a是非负数;

中的被开方数可以是任何数.

2.例题讲解

[例1]求下列各数的立方根:

(1)-27;(2)

;(3)0.216;(4)-5.

[师]请大家思考下列问题.

表示a的立方根,则(

)3等于什么?

等于什么?

大家可以先举例后找规律.: (

)3=a.

又∵a3是a的立方,所以a3的立方根就是a,所以

=a.下面就这两个式子进行练习.

[例2]求下列各式的值:

(1)

;(2)

;(3)-

;(4)(

)3

Ⅲ.课堂练习

(一)随堂练习

1.求下列各式的值:

2.一个正方体,它的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍,这个正方体的棱长是多少?

解:设正方体的棱长是x厘米,得

(二)补充练习1.求下列各数的立方根:

0,1,-

,6,-

,0.001

2.求下列各式的值:

3.下列说法对不对?

-4没有立方根;1的立方根是±1;

的立方根是

;-5的立方根是-

;64的算术平方根是

Ⅳ.议一议

1.某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体.现在要造一个新的球形储气罐,如果它的体积是原来的8倍,那么它的半径是原储气罐半径的多少倍?

2.一个正方体的体积变为原来的n倍,它的棱长变为原来的多少倍?

解:设原正方体的棱长为a,后来的正方体的棱长为b,得

na3=b3∴

∴b=

即后来的棱长变为原来的

倍.

Ⅴ.课时小结1.立方根的定义.2.立方根的性质.3.开立方的定义.4.平方根与立方根的区别与联系.

5.会求一个数的立方根.

Ⅵ.课后作业

习题2.5.

Ⅶ.活动与探究

1.求下列各式中的x.

(1)8x3+27=0;(2)(x-1)3-0.343=0;(3)81(x+1)4=16;(4)32x5-1=0.