(重复)几何-4命题一个正12边形内接于半径为12的圆，这正12 爱问知识人
命题 一个正12边形内接于半径为12的圆，这正12边形所有的边和对角线的长度之和可以写成: a+b√2+c√3+d√6,[其中a,b,c,d为正数]，求 a+b+c+d的值。
设正十二边形A1A2。。。
A12根据余弦定理[AiA(i+1)]^2=12^2+12^2-2*12*12*cos30[AiA(i+2)]^2=12^2+12^2-2*12*12*cos60[AiA(i+3)]^2=12^2+12^2-2*12*12*cos90[AiA(i+4)]^2=12^2+12^2-2*12*12*cos120[AiA(i+5)]^2=12^2+12^2-2*12*12*cos150[AiA(i+6)]^2=12^2+12^2-2*12*12*cos180依次得AiA(i+1)=6(√6-√2)AiA(i+2)=12AiA(i+3)=12√2AiA(i+4)=12√3AiA(i+5)=6(√6+√2)AiA(i+6)=24所有的长度之和为12*[6(√6-√2)]+12*12+12*12√2+12*12√3+12*[6(√6+√2)]+6*24=288+144√2+144√3+144√6所以a=288,b=c=d=144,a+b+c+d=720(其实每个AiAj都可直接采用几何三角函数运算得到)。
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