怎么证明切割线定理、割线定理、弦切角定理？详细点 爱问知识人
详细点
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT^2=PA·PB（切割线定理）
推论：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
几何语言：
∵PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）
由上可知:PT^2=PA·PB=PC·PD
切割线定理证明:
设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT^2=PA·PB
证明：连接AT, BT
∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)
∠P=∠P(公共角)
∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)
则PB：PT=PT：AP
即：PT^2=PB·PA
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A。
B。C。D 则有 PA·PB=PC·PD，当PA=PB，即点A、B重合于T，即PT切线是得到切线定理PT^2=PC*PD
要证PT2=PA·PB， 可以证明 ，为此可证以 PA·PT为边的三角形与以PT，BP为边的三角形相似，于是考虑作辅助线TP，PB．(图3)．容易证明∠PTA=∠B又∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，于是问题可证．
弦切角定理
切线定理
割线定理
相交弦定理
都可以用同样方法证明
割线定理
如图
直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD
证明:连接AD、BC
∵∠A和∠C都对弧BD
∴由圆周角定理，得 ∠A=∠C
又∵∠APD=∠CPB
∴△ADP∽△CBP
∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP
弦切角定理：
定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。
(弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明
证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作TP的平行线交BC于D，
则∠TCB=∠CDA
∵∠TCB=90-∠OCD
∵∠BOC=180-2∠OCD
更清楚的 ∴,∠BOC=2∠TCB
证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧。
求证：。
证明：分三种情况：
（1） 圆心O在∠BAC的一边AC上
∵AC为直径，AB切⊙O于A，
∴弧CmA=弧CA
∵为半圆,
（2） 圆心O在∠BAC的内部。
过A作直径AD交⊙O于D,
那么
。
（3） 圆心O在∠BAC的外部,
过A作直径AD交⊙O于D
那么。
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