现代微积分对导数的矛盾定义:再现无穷小悖论
牛顿所创建的古典微积分对导数的定义为:f'(x)＝△y/△x，因为牛顿搞不清楚无穷小究竟是不是0，被英国大主教贝克莱成功的抓住了小辫子，制造了无穷小悖论，从而引发了第二次数学危机。
二次数学危机之后，无数伟大的数学家们对微积分进行了升级改造，并以柯西，魏尔斯特拉斯等人所创建的极限论集于大成，升级改造之后的现代微积分系统将导数以极限的形式定义为:f'(x)＝lim(△x→0)△y/△x。
然尔，现代导数的定义只是在书写形式上掩盖住了无穷小的矛盾，无穷小依然是现代微积分中难以逃脱的魔咒。
下面以求解瞬时速度的例子来进行说明现代导数定义中暗含的矛盾:
设物体位移的函数为y＝x^2，其中y为位移，x为时间，求x＝3时的瞬时速度是多少?
此题即为求当x＝3时的导数是多少，用现代微积分中的导数定义求解为:lim(△x→0)△y/△x，△y＝(3＋△x)^2－3^2，展开为:3^2＋6△x＋△x^2－3^2，3^2与－3^2抵销，得:6△x＋△x^2，用△y除以△x，上下约分，得6＋△x，求6＋△x的极限，即lim(△x→0)6＋△x＝6。
论证到此处出现了一个巨大的分歧，即按照本人所写的《函值极限论》的观点，lim(△x→0)△x永远都会大于或者小于0，不会等于0，否则如果有lim(△x→0)△x＝0，则0做除数，构成矛盾。既然△x不等于0，则有lim(6＋△x)大于或者小于6，而不能等于6。
但本人的观点不被认同，所以本人将会对上述函数式做一个等价变形，以说明如果lim(6＋△x)＝6，则必然会导致矛盾。
首先将上述函数式记为①式，下面给出该函数式的等价变形②式。
我们知道，0＋a，无论a为何值，皆有0＋a＝a，例如:0＋2＝2，0＋(－2)＝－2，0＋0＝0，等等，因此必有:0＋△x＝△x。
首先重列出①式:lim(△x→0)△y/△x＝lim(△x→0)［(3＋△x)^2－3^2］/△x＝lim(△x→0)6＋△x＝6。
根据0＋△x＝△x，再根据①式，做出①式的等价变形②式，为:lim［(0＋△x)→0］△y/(0＋△x)＝lim［(0＋△x)→0］｛［3＋(0＋△x)］^2－3^2｝/(0＋△x)＝lim［(0＋△x)→0］6＋△x＝6。
在②式中，将①式中的所有△x全都换成(0＋△x)，由于0＋△x＝△x，所以②式与①式是等价的，计算出来的结果也完全一模一样。
现在问题是，如果①式中有lim(△x→0)6＋△x＝6，则根据②式与①式的等价关系，必有lim［(0＋△x)→0］(0＋△x)＝0，即有lim(△x→0)△x＝0，即有做为分母的△x＝0，于是，0做除数，构成矛盾。
所以，如果有lim(△x→0)△x≠0，则必有lim(△x→0)6＋△x≠6，否则，如果有lim(△x→0)6＋△x＝6，则必有lim(△x→0)△x＝0，0做分母构成矛盾。
此为亚里士多德为逻辑论证所制定出的三大定律(同一律，矛盾律，排中律)中的逻辑同一律，如果违反逻辑同一律，必会导致逻辑错误。即，如果有lim(△x→0)6＋△x＝6并且同时有lim(△x→0)0＋△x≠0，则是违反了逻辑同一律，导致矛盾。
总结来说就是:现代微积分系统中的导数定义只是在表面书写形式上掩盖住了无穷小的矛盾，而实质上，无穷小的悖论依然存在，这也说明第二次数学危机并没有被真正解决。
最后附图求解导数①式与②式的逻辑对比图
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