洛伦兹变换是什么如题 爱问知识人
如题
狭义相对论力学：(注：γ=1/sqr(1-u^2/c^2),β=u/c,u为惯性系速度。)
(一)基本原理：(1)相对性原理：所有惯性系都是等价的。
(2)光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。
(此处先给出公式再给出证明)
(二)洛仑兹坐标变换：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c^2)
(三)速度变换：
V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))
V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))
(四)尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ
(五)钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ
(六)光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1 β))ν(b)
(光源与探测器在一条直线上运动。
)
(七)动量表达式：P=Mv=γmv,即M=γm。
(八)相对论力学基本方程：F=dP/dt
(九)质能方程：E=Mc^2
(十)能量动量关系：E^2=(E0)^2 P^2c^2
(注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。
)
三：
三维证明：
(二)洛仑兹变换：
设(x, y,z,t)所在坐标系(A系)静止，(X,Y,Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向。在A系原点处，x=0,B系中A原点的坐标为X=- uT,即X uT=0。
可令x=k(X uT),(1)。又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数(广义相对论中，由于时空弯曲，各点 不再等价，因此k不再是常数。)同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k= K。
故有X=k(x-ut),(2)。对于y,z,Y,Z皆与速度无关，可得Y=y,(3)。Z=z(4)。将(2)代入(1)可得：x=k^2(x- ut) kuT,即T=kt ((1-k^2)/(ku))x,(5)。(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。
当两 系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct,X=cT。代入(1)(2)式得：ct=kT(c u),cT=kt(c-u)。两式相 乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ。将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c^2)
(三)速度变换：
V(x)=dX/dT=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
同理可得V(y),V(z)的表达式。
(四)尺缩效应：
B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ
(五)钟慢效应：
由坐标变换的逆变换可知，t=γ(T Xu/c^2),故△t=γ(△T △Xu/c^2),又△X=0,(要在同地测量)，故△t=γ△T。
(六)光的多普勒效应：(注：声音的多普勒效应是：ν(a)=((u v1)/(u-v2))ν(b)。)
B 系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。
B系中光源频率为ν(b),波数为N，B系的 钟测得的时间是△t(b),由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为△t(a)=γ△t(b),(1)。探测器开始接收时刻为t1 x/c,最终时刻为 t2 (x v△t(a))/c,则△t(N)=(1 β)△t(a),(2)。
相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同， 即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3)。由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1 β))ν(b)。
(七)动量表达式:(注：dt=γdτ,此时，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c)
(八)相对论力学基本方程：
由相对论动量表达式可知：F=dp/dt,这是力的定义式，虽与牛二的形式完全一样，但内涵不一样。
（相对论中质量是变量）
(九)质能方程：
Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=Mv^2 Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2
=Mc^2-mc^2
即E=Mc^2=Ek mc^2
(十)能量动量关系：
E=Mc^2,p=Mv,γ=1/sqr(1-v^2/c^2),E0=mc^2,可得：E^2=(E0)^2 p^2c^2。
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