近世代数1证明:循环群的商群是循环群2设是G是30阶群,H是G的 爱问知识人
1 证明:循环群的商群是循环群2设是G 是30阶群,H是G的不娈子群,且︱H︱=6 证明:(1)G/H为交换群(2)对于任意x∈G,x^5∈H
1.循环群的商群是循环群.这是显然的.循环群G={e,x,..,x^(n-1)},f为G到G/H的相对应的同态映射,则循环群的商群=G/H={1,f(x),..,[f(x)]^(n-1)},所以循环群的商群是循环群.2.(1)|G/H|*|H|=|G|==>|G/H|=5,任取一个G/H中非单位元素x,则|x|整除|G/H|=5,所以|x|=5,==>{e,x,x^2,x^3,x^4}是和G/H同阶的子群,所以{e,x,x^2,x^3,x^4}=G/H,==>G/H是循环群,所以是交换群. (2)由于|G/H|=5,f为G到G/H的相对应的同态映射,对于任意x∈G,则[f(x)]^5=f(e)=f(x^5),[x^5]e^(-1)=x^5∈H .
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